Электронная библиотека учебников » Математика » Арифметика алгебраических кривых - Степанов С.А.

Арифметика алгебраических кривых - Степанов С.А.

 
Название: Арифметика алгебраических кривых
Автор: Степанов С.А.
Категория: Математика
Тип: Книга
Дата: 06.01.2009 16:00:27
Скачано: 354
Оценка:
Описание: Данная книга основана на курсе лекций, прочитанном автором веспой 1989 г. в Тата институте фундаментальных исследований (Бомбей), и поавящена наиболее изученному разделу дио-фантова анализа — теории уравнений с двумя неизвестными. Проблематика теории диофантовых уравнений обманчиво проста и состоит (при классическом понимании) в отыскании рациональных или целочисленных решений неопределенных полиномиальных уравнений с целыми коэффициентами. Что касается вопроса о роли теории диофантовых уравнений в математике, то ответ па него (в значительной степени предугаданный еще К. Ф. Гауссом в его знаменитом изречении о королевском статусе теории чисел) удалось получить лишь в наши дни, после создания формализованной теории доказательств и теории алгоритмов. Он оказался необычайно эффектным: к теории диофантовых уравнений сводится в некотором смысле слова «почти вся» математика (см. [81 d]). Указаппая универсальность диофантовых уравнений требует, естественно, для их изучения огромного арсенала понятий и методов. В настоящее время этот арсенал достаточно солиден и включает в себя не только классические методы арифметики, геометрии чисел и анализа, но и современные методы алгебраической геометрии, математической логики и теории диофантовых приближений. Еще сравнительно недавно (см. Диксон [44]) совокупность исследованных к тому времени диофантовых уравнений можно было уподобить многочисленным островам Полинезии и Микронезии, разбросанным по бесконечному простору Тихого океана. Многие из этих уравнений стали знамопитыми (вроде острова Гуам — первого клочка суши, открытого в Океании экспедицией Магеллана, и одновременно, по неведомому стечению обстоятельств, величественнейшей аерншны затонувшего горного хребта, вознесшейся над прилегающей к ной Марианской впадиной на целую милю выше, чем Джомолунгма над уровнем моря); некоторые до сих пор сохранили налет экзотичности (вроде острова Таити); другие снискали печальную славу (подобно аттолу Бикини), и, наконец, очень многие диофантовы уравнения весьма специального вида в пастоящее время почти полностью забыты (подобно многочисленным необитаемым островам). Последние десятилетия ознаменовались созданием достаточно общих методов, применимых к широким классам диофаптовых уравнений. Доказательство гипотезы Морделла о конечности числа рациональных точек на кривой рода g > 1 (Фалтивгс [125])
Файл: 299.8 КБ
Скачать